jueves, 27 de marzo de 2008

Centroide de figuras complejas

Se puede considerar que la mayoría de las formas complejas están compuestas de varias formas simples.

Un concepto que ayuda en la localización de centroides es que si el área dispone de un eje de simetría, el centroide se localizara en dicho eje. Algunas figuras complejas cuentan con dos ejes de simetría y, por consiguiente, el centroide se localiza en la intersección de estos dos ejes. En la siguiente figura se muestran ejemplos donde ocurre esto.En los casos en que no hay ejes de simetría, se usa el método de las áreas compuestas para localizar el centroide. Por ejemplo, considerando la siguiente figura:



En los casos en que no hay dos ejes de simetría, se usa el método de las áreas compuestas para localizar el centroide. Por ejemplo, considerándose el área que se ilustra en la siguiente figura: tiene un eje vertical de simetría pero no uno horizontal. Se considera que tales áreas se componen de dos o más áreas simples en las cuales se puede localizar el centroide aplicando el siguiente principio:


El producto del área total por la distancia al centroide del área total es igual a la suma de los productos del área de cada componente por la distancia a su centroide, con las distancias medidas a partir del mismo eje de referencia.

Este principio utiliza el concepto de momento de área, es decir, el producto del área por la distancia de un eje de referencia al centroide del área. El principio estable:

El momento del área total con respecto a un eje particular es igual a la suma de los momentos de todos los componentes con respecto al mismo eje.

Esta se expresa matemáticamente como:

ATỸ = ∑ (Aiyi)

Donde:
AT = área total de la forma compuesta
Ỹ = distancia al centroide de la forma compuesta medida con respecto a un eje de referencia
Ai = área de un componente de la forma
yi = distancia del centroide del componente al eje de referencia.

El subíndice i indica que puede haber varios componentes, y se debe formar el producto de cada uno Aiyi y luego sumarlos, tal como lo requiere la ecuación. Como el objetivo es calcular Ỹ, se resuelve la ecuación:

Ỹ = ∑ (Aiyi)
AT

Momento de inercia de formas compuestas cuyos componentes tienen el mismo eje centroidal

Un perfil compuesto es integrado por dos o mas componentes que por si mismos son perfiles simples de los cuales hay formulas para calcular su momento de inercia, I. un casa especial es cuando todas las partes tiene el mismo eje centroidal. En tal caso el momento de inercia del perfil compuesto se determina combinando los valores de I de todas las partes de acuerdo con la regla siguiente:

Si las partes de un área compuesta tienen el mismo eje centroidal, el momento total de inercia se determina sumando o restando los momentos de inercia de las partes con respecto al eje centroidal. El valor de I se suma cuando la parte es un área sólida positiva. Si la parte es hueca, el calor de I se resta.


Momento de inercia de formas compuestas – caso general- uso del teorema de la transferencia del eje

Cuando una sección compuesta consta de partes cuyos ejes centroidales no coinciden con el eje centroidal de la sección completa, el proceso simple de sumas los valores de I de las partes no se puede usar. Se tiene que aplicar el teorema de la transferencia del eje.

El momento de inercia de una forma con respecto a un cierto eje es igual a la suma del momento de inercia de la forma con respecto a su propio eje centroidal mas una cantidad denominada termino de transferencia que se calcula con Ad2, en donde A es el área de la forma y d es la distancia del centroide de la forma al eje de interés.

Este teorema se puede aplicar para calcular el momento de inercia total de una forma compuesta general, siguiendo el procedimiento siguiente:

1. divida la forma compuesta en formas simples que dispongan de formulas para calcular su momento de inercia con respecto a su propio eje centroidal. Identifique las partes 1, 2, 3, etc.
2. localice la distancia del centroide de casa componente a algún eje de referencia conveniente, por lo general, la base de la sección compuesta. Designe estas distancias como y1, y2, y3, etc.
3. localice el centroide de la sección compuesta. Designe la distancia del eje de referencia del paso 2 al centroide, como Ỹ
4. calcule el momento de inercia de cada parte con respecto a su propio eje centroidal y designe estos valores como I1, I2, I3, etc.
5. determine la distancia del centroide de la forma compuesta al centroide de cada parte y designe estos valores como d1, d2, d3, etc. Observe que d1=Ỹ-y1, d2=Ỹ-y2, d3=Ỹ-y3, etc. Use el valor absoluto de cada distancia.
6. calcule el termino de transferencia de cada parte con Aidi2 en donde Ai es el área de la parte y di es la distancia calculada en el paso 5
7. calcule el momento total de inercia de la sección compuesta con respecto a su eje centroidal con:

IT = ∑ (Ii + Aidi2)

La ecuación IT = ∑ (Ii + Aidi2) se conoce como el teorema de la transferencia del eje porque define como transferir el momento de inercia de un área de un eje a cualquier eje paralelo. Los dos ejes son el eje centroidal de la parte componente y el eje centroidal de la sección compuesta. Para cada una de las partes de una sección compuesta la suma I + Ad2 es la medida de su contribución al momento total de inercia.